韩信点兵多多益善故事？
汉高祖刘邦曾问大将韩信：“像我这样能统率多少兵马？”韩信说：“陛下能统帅10万。”刘邦接着又问：“那么你能统帅多少兵马呢？”韩信自豪地回答：“我多多益善耳。”
这个故事，不仅表现了大将韩信的骄傲自大，同时也说明了，兵马、物品、人口等通常可以用任意大的正整数来表示。如果将故事中的兵马改为粮食，那么粮食的重量就不适合用正整数表示了，但是我们仍然可以取任意大的数来度量。这是因为，正整数有一个重要性质，那就是可以无限递增。
正整数的这种性质是一切无限集合的共同特征，用数学家康托的语言，这样的集合是“无穷”集合。正整数的无穷性可以用通俗的语言来描述：正整数不能“数完”，我们可以不断地“数出下一个”来。我们把具有这种性质的集合叫做可列集合。
在哲学上，对于无穷的本质，曾经有过长久的论争。亚里士多德区分了“潜在的”无穷和“实在”的无穷，前者表示可以“永远延续”下去，而后者则表示“存在的无穷整体”。亚里士多德认为，后一种“实在的”无穷在现实中不可能“实现”。中世纪的神学家则认为，后一种无穷是现实的，全能的上帝的意志是无穷。在数学研究中，这种哲学上的争论使大家对无穷的使用非常小心谨慎。微积分中的无穷小量就是这种态度的产物。在19世纪初以前，人们在使用无穷小量来表示可忽略的量时，总是把它当做很小的数来对待，而没有严格地区分它和普通的数。微积分的奠基人之一牛顿是这样来表述他的态度的：“在数学中，我把无穷小量理解为极小的量；比任何指定的量还小；而我的方式是，不仅把这些量本身当作消逝的量，而且它们的比也是最后的比。”另一位奠基人莱布尼茨则认为无穷小量是“无限小的数”，他写道：“设想我们有一直线上无限多的点，即设想有无限多条长度，然后把任何给定的线段跟这些长度相比；那么，这个给定的线段对于某些长度来说是大的，对于某些长度说来是大的，对于另一些是小的，而对于一切的无限小的长度来说是大的，这样我们就能够说它是无穷小的。”在他们之后，经过拉格朗日等数学家的努力，直到19世纪60年代德国杰出的数学家维尔斯特拉斯创立了ε-δ语言之后，无穷小的使用才在数学上获得了可靠的基础。
在19世纪末，德国数学家康托在分析学的基础上建立了集合论，对无穷进行数学研究。在建立了可数集的概念后，康托证明了，所有正整数构成的集合与所有有理数构成的集合具有相同的基数（基数是度量集合中元素多少的量），这种性质同样反映了有理数具有无穷性的特征，它使我们认识到，有理数和正整数一样都可以任意递增。但是，如果将有理数数轴打上小孔——挖去一个正有理数点，这个数轴的有理数部分就被分为两段，而正整数没有这种性质。因此，正有理数比正整数在作为度量工具方面不够好。康托给出了证明；所有有理数构成的集合与所有正整数构成的集合的真子集是同基数的。这一结论与直觉相矛盾：整体的元素个数应该多于部分的元素个数。然而康托对此的解释使整体和部分相等基数变得合理：“无限就是无限，它的任何部分无论多么大，也还是与整体相等。”因此对于无穷，整体=部分。
接下来康托研究了全体实数构成的集合。他成功地证明了这个集合不是可数的，而是一种新的有着更大基数的集合。这种无穷比可数无穷在“数量”上要大得多，我们称之为“不可数无穷”。对于两个不同无穷“大小”的比较，人们通常没有足够的直觉能力来认识和理解。对于可数无穷和不可数无穷之间的矛盾，实际上在古代早有表现。古希腊哲学家芝诺曾经提出了一个著名的难题：“飞矢不动”。所谓“飞矢不动”的结论，就是将时间看成可数无穷多个瞬时点的简单累积。而事实上，表示时刻的集合是可数的，表示时间间隔的集合却是不可数的。这正是“飞矢不动”的悖论所在。
康托在建立集合论时，还提出来著名的连续统假设。在这个假设中，他明确指出，是否存在一种基数，它的大小严重大于表示可数无穷的最小的无穷基数，而又小于表示实数集合的无穷集合的基数。康托自己没能证明这个命题，而这个命题的解决比他所想象的要困难得多。这一著名的命题在经过哥德尔、保罗·科恩的研究之后，人们认识到，它是独立于通常的公理集合论的，即是说在集合论的框架内既不能证明也不能推翻这个命题。它要求我们对无穷的认识朝着更深刻、更普遍的方向前进。